روش موجک گالرکین برای حل معادلات دیفرانسیل

روش های عددی که معمولاً برای حل معادلات دیفرانسیل به کار می روند به دو دسته ی موضعی و طیفی تقسیم می شوند. وقتی که جواب مسائل مورد بحث متناوب باشد شناخته شده ترین روش طیفی، استفاده از سری فوریه است. در فصل اول این پایان نامه علاوه بر ذکر مقدماتی از آنالیز حقیقی،ابتدا به طور مختصر به آنالیز فوریه و عدم توانایی آن در نمایش رفتارهای موضعی توابع اشاره شده است. برخلاف چندجمله ایهای مثلثاتی، موجک ها در فضا به صورت موضعی بررسی می شوند. موجک های دوبشی خواص مطلوبی را برآورده می سازند. آن ها دارای محمل فشرده و خواص متعامد بودن، پیوستگی و منظم بودن هستند.در فصل دوم مفاهیم بنیادی از نظریه موجک بیان شده است وعلاوه بر معرفی موجک دوبشی موجک های متناوب که در حل مسائلی با دامنه ی متناهی و موجک های دو بعدی که در حل معادلات دیفرانسیل دو بعدی به کار می روند معرفی می شوند. ‎‎روش گالرکین یک ساختار کلی برای تقریب جواب معادلات دیفرانسیل است که بر پایه حساب تغییرات بنا‎ شده است. در این روش جواب معادله ی دیفرانسیل مورد بحث‏، توسط یک دسته توابع پایه ای تقریب زده شده و سپس معادله ی مذکور در یک تابع آزمونی که از جنس توابع پایه‎ ای است ضرب داخلی می شود. فصل سوم به بیان روش گالرکین اختصاص یافته است. علاوه بر این چون موجک های دوبشی نمایش صریح ندارند، ضرایب اتصال‏، که رابطه ی بین بسط تابع مقیاس دوبشی و مشتقاتش است تعریف شده و بنابر نیاز این پایان نامه ضرایب اتصال دو جمله ای و ضرایب اتصال سه جمله ای با ارایه یک روش عددی محاسبه می شوند.‎ استفاده از توابع موجک به عنوان پایه های روش گالرکین روش موجک گالرکین را بنا می کند. در‎‎ نهایت در فصل چهارم روش موجک گالرکین‏، با به کار بردن پایه های تولید شده توسط توابع مقیاس دوبشی به عنوان پایه های روش گالرکین مطرح می گردد و با استفاده از این روش معادلات دیفرانسیل هلم هلتز، گرما و برگرز در یک بعد و معادله گرما در دو بعد حل می شود و کارایی آن با روش تفاضلات متناهی مقایسه می شود.